В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику н...
Условие:
В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит p = 1 4 p= 4 1 . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу?
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение.
В данном случае, у нас есть 5 независимых испытаний (задач) с вероятностью успеха p = 1/4 и вероятностью неудачи q = 1 - p = 3/4.
Мы хотим найти вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задачи. Это означает, что он может решить 2, 3, 4 или 5 задач верно.
Для каждого из этих случаев мы можем использовать формулу биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
где P(X = k) - вероятность того, что Ваня решит k задач верно, n - количество испытаний (задач), k - количество успехов (задач, которые Ваня решил верно), p - вероятность успеха (решить задачу верно), q - вероятность неудачи (решить задачу неверно).
Теперь мы можем вычислить вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу:
P(X >= 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
P(X = 2) = C(5, 2) * (1/4)^2 * (3/4)^3 P(X = 3) = C(5, 3) * (1/4)^3 * (3/4)^2 P(X = 4) = C(5, 4) * (1/4)^4 * (3/4)^1 P(X = 5) = C(5, 5) * (1/4)^5 * (3/4)^0
Вычислим каждую из этих вероятностей:
P(X = 2) = 10 * (1/4)^2 * (3/4)^3 = 0.0879 P(X = 3) = 10 * (1/4)^3 * (3/4)^2 = 0.0879 P(X = 4) = 5 * (1/4)^4 * (3/4)^1 = 0.0146 P(X = 5) = 1 * (1/4)^5 * (3/4)^0 = 0.00098
Теперь сложим эти вероятности:
P(X >= 2) = 0.0879 + 0.0879 + 0.0146 + 0.00098 = 0.19138
Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, составляет примерно 0.19138 или 19.138%.