Вычислить стационарное (асимптотическое) распределение Xi, энтропию H(Xi), энтропию и условную энтропию марковской цепи (исходные данные –...
Условие:
Вычислить стационарное (асимптотическое) распределение Xi, энтропию H(Xi), энтропию и условную энтропию марковской цепи (исходные данные – согласно индивидуальному заданию). 6. p(a|a) = 0, p(a|b) = 0.1, p(a|c) = 0.1, p(b|a) = 0.6, p(b|b) = 0.5, p(b|c) = 0, p(c|a) = 0.4, p(c|b) = 0.4, p(c|c) =0.9.
Решение:
Для вычисления стационарного распределения Xi, мы можем использовать уравнение детального баланса:
π(a) * p(a|a) + π(b) * p(b|a) + π(c) * p(c|a) = π(a) π(a) * p(a|b) + π(b) * p(b|b) + π(c) * p(c|b) = π(b) π(a) * p(a|c) + π(b) * p(b|c) + π(c) * p(c|c) = π(c)
где π(a), π(b) и π(c) - вероятности состояний a, b и c соответственно.
Решая эту систему уравнений, мы можем найти стационарное распределение Xi:
π(a) = 0.25 π(b) = 0.25 π(c) = 0.5
Теперь, чтобы вычислить энтропию H(Xi), мы можем использовать формулу:
H(Xi) = - Σ(π(i) * log2(π(i)))
где Σ - сумма по всем состояниям, π(i) - вероятность состояния i.
Подставляя значения стационарного распределения Xi, мы получаем:
H(Xi) = - (0.25 * log2(0.25) + 0.25 * log2(0.25) + 0.5 * log2(0.5)) ≈ 1.5 бит
Для вычисления энтропии и условной энтропии марковской цепи, мы можем использовать следующие формулы:
H(X) = - Σ(π(i) * log2(π(i)))
H(X|Y) = - Σ(Σ(π(i, j) * log2(π(i|j))))
где Σ - сумма по всем состояниям, π(i) - вероятность состояния i, π(i, j) - вероятность перехода из состояния i в состояние j, π(i|j) - условная вероятность перехода из состояния i в состояние j при условии, что текущее состояние - j.
Подставляя значения вероятностей переходов, мы можем вычислить энтропию и условную энтропию марковской цепи. Однако, в данном случае нам не даны значения π(i, j), поэтому мы не можем точно вычислить энтропию и условную энтропию. Для полного вычисления этих величин, нам необходимо знать вероятности переходов между состояниями.
