(уравнение высших степеней, приводимые к виду квадратного уравнения)Решите уравнение методом введения новой переменной: 1)2(x^2+1/x^2)-7(x+1...
Условие:
(уравнение высших степеней, приводимые к виду квадратного уравнения)Решите уравнение методом введения новой переменной: 1)2(x^2+1/x^2)-7(x+1/x)+9=0
Решение:
Для решения данного уравнения методом введения новой переменной, давайте введем новую переменную u = x + 1/x. Тогда у нас будет:
u = x + 1/x
Теперь возведем это уравнение в квадрат:
u^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2
Теперь мы можем заменить выражение x^2 + 1/x^2 в исходном уравнении на u^2 - 2:
2(u^2 - 2) - 7u + 9 = 0
Раскроем скобки:
2u^2 - 4 - 7u + 9 = 0
Упростим:
2u^2 - 7u + 5 = 0
Теперь у нас получилось квадратное уравнение, которое можно решить стандартными методами. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или методом завершения квадрата.
Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 2, b = -7 и c = 5.
Вычислим дискриминант:
D = (-7)^2 - 4 * 2 * 5 = 49 - 40 = 9
Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a)
Подставим значения:
x = (-(-7) ± √9) / (2 * 2) = (7 ± 3) / 4
Таким образом, получаем два корня:
x1 = (7 + 3) / 4 = 10 / 4 = 2.5 x2 = (7 - 3) / 4 = 4 / 4 = 1
Итак, решением исходного уравнения являются x = 2.5 и x = 1.
