Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается...
Условие:
Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается к наблюдателю, кажущаяся частота звука 1 1100 Гц; когда же поезд удаляется от него, кажущаяся частота звука 2 900 Гц. Принимая скорость распространения звука в воздухе v 340 м/с, найдите скорость u дви
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать эффект Доплера. Эффект Доплера описывает изменение частоты звука, воспринимаемого наблюдателем, когда источник звука или наблюдатель движутся относительно друг друга.
Формула для эффекта Доплера для звука выглядит следующим образом:
(1) f = (v + u) / (v - u) * f0,
где f - кажущаяся частота звука, f0 - истинная частота звука, v - скорость распространения звука в среде (в данном случае воздухе), u - скорость движения источника звука или наблюдателя.
Мы знаем, что когда поезд приближается к наблюдателю, кажущаяся частота звука равна 1100 Гц, а когда поезд удаляется от наблюдателя, кажущаяся частота звука равна 900 Гц. Подставим эти значения в формулу (1):
1100 = (340 + u) / (340 - u) * f0, 900 = (340 - u) / (340 + u) * f0.
Мы можем решить эту систему уравнений относительно u и f0. Разделим первое уравнение на второе:
1100 / 900 = (340 + u) / (340 - u) * (340 + u) / (340 - u).
Упростим это выражение:
11 / 9 = (340 + u)^2 / (340 - u)^2.
Перекрестно умножим:
11 * (340 - u)^2 = 9 * (340 + u)^2.
Раскроем скобки и упростим:
11 * (340^2 - 2 * 340u + u^2) = 9 * (340^2 + 2 * 340u + u^2).
Раскроем скобки еще раз и упростим:
11 * 340^2 - 22 * 340u + 11 * u^2 = 9 * 340^2 + 18 * 340u + 9 * u^2.
Перенесем все члены на одну сторону уравнения:
(11 - 9) * 340^2 - (22 + 18) * 340u + (11 - 9) * u^2 = 0,
2 * 340^2 - 40 * 340u + 2 * u^2 = 0.
Разделим это уравнение на 2:
340^2 - 20 * 340u + u^2 = 0.
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
D = (-20 * 340)^2 - 4 * 340^2 = 400 * 340^2 - 4 * 340^2 = 136000 * 340^2.
Теперь найдем корни уравнения:
u1,2 = (20 * 340 ± √(136000 * 340^2)) / 2 = 10 * 340 ± 20 * 340√136 ≈ 5780 м/с.
Таким образом, скорость движения поезда составляет около 5780 м/с.
