Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой m0 начинает движение из состояния покоя под воздействием постоянной горизонт...
Условие:
Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой m0 начинает движение из состояния покоя под воздействием постоянной горизонтальной силы тяги F. Через отверстие в дне платформы высыпается песок с постоянным расходом (кг/c). Определить зависимость скорости платформы от времени.
Решение:
Для определения зависимости скорости платформы от времени, мы можем использовать закон сохранения импульса.
Импульс системы до начала высыпания песка равен нулю, так как платформа находится в состоянии покоя. После начала высыпания песка, импульс системы будет изменяться.
Пусть v(t) - скорость платформы в момент времени t, m(t) - масса платформы в момент времени t, и m_s(t) - масса высыпавшегося песка в момент времени t.
Из закона сохранения импульса получаем:
m(t)v(t) = (m0 - m_s(t))v(t) + m_s(t)(v(t) + Δv),
где Δv - изменение скорости платформы вследствие высыпания песка.
Выразим Δv:
Δv = -μv(t),
где -μv(t) - изменение скорости вследствие высыпания песка.
Теперь можем переписать уравнение:
m(t)v(t) = (m0 - m_s(t))v(t) + m_s(t)(v(t) - μv(t)).
Раскроем скобки:
m(t)v(t) = m0v(t) - m_s(t)v(t) + m_s(t)v(t) - μm_s(t)v(t).
Упростим:
m(t)v(t) = m0v(t) - μm_s(t)v(t).
Теперь выразим m_s(t) через расход песка:
m_s(t) = μt.
Подставим это значение в уравнение:
m(t)v(t) = m0v(t) - μμt*v(t).
Упростим:
m(t)v(t) = (m0 - μt)v(t).
Теперь разделим обе части уравнения на v(t):
m(t) = m0 - μt.
Теперь можем выразить m(t) через m0 и t:
m(t) = m0 - μt.
Таким образом, зависимость скорости платформы от времени будет следующей:
v(t) = (m0 - μt) / m(t).
Здесь мы предполагаем, что масса платформы уменьшается линейно с течением времени вследствие высыпания песка. Однако, стоит отметить, что это упрощение, и реальная зависимость может быть более сложной и требовать дополнительных исследований.