Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС). На продолжениях боковых сторон АВ и ВС за точку В отмечены D и Е соответственно, а на основании ...
Условие:
Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС). На продолжениях боковых сторон АВ и ВС за точку В отмечены D и Е соответственно, а на основании АС отмечена точка F, причем АС=DE и угол CFE=углу DEF. Докажите, что АВС=2DFE
Решение:
Для доказательства равенства АВС = 2DFE, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства углов.
Поскольку АВ = ВС, треугольник АВС является равнобедренным. Это означает, что угол АВС равен углу АСВ.
Также, по условию, угол CFE равен углу DEF.
Из этих двух фактов мы можем заключить, что угол АСВ равен углу DEF.
Теперь рассмотрим треугольники АСВ и DFE. У них есть следующие равенства:
- Угол АСВ = угол DEF (из предыдущего рассуждения)
- Угол САВ = угол EDF (по свойству равнобедренного треугольника)
- Сторона АС = сторона DE (по условию)
Таким образом, треугольники АСВ и DFE являются подобными по стороне-угол-стороне (SAS).
Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон АВС и DFE равно отношению длин соответствующих сторон:
АВ/DF = ВС/FE = АС/DE
Поскольку АВ = ВС и АС = DE, мы можем записать:
АВ/DF = ВС/FE = 1
Отсюда следует, что АВ = DF и ВС = FE.
Теперь рассмотрим треугольник DFE. У него есть следующие равенства:
- Сторона DF = сторона АВ (из предыдущего рассуждения)
- Сторона FE = сторона ВС (из предыдущего рассуждения)
- Угол DEF = угол АСВ (из предыдущего рассуждения)
Таким образом, треугольник DFE является равнобедренным.
Теперь мы можем выразить площади треугольников АВС и DFE:
Площадь АВС = (1/2) * АВ * высота, где высота - это расстояние от точки F до основания АС. Площадь DFE = (1/2) * DF * высота, где высота - это расстояние от точки F до стороны DE.
Поскольку АВ = DF, площади треугольников АВС и DFE имеют одинаковую высоту.
Таким образом, площадь АВС = площадь DFE.
Из этого следует, что АВС = 2DFE, так как площадь АВС в два раза больше площади DFE.
Таким образом, мы доказали, что АВС = 2DFE.