lim n -> ∞ (root((n ^ n)/(n!), n) * n ^ n + (n + root(n, n)) ^ n)/(n ^ (n + root(n, n) / n) + n ^ n)
Условие:
lim n -> ∞ (root((n ^ n)/(n!), n) * n ^ n + (n + root(n, n)) ^ n)/(n ^ (n + root(n, n) / n) + n ^ n)
Решение:
Для решения данной задачи, мы можем использовать асимптотический анализ. Давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.
- Рассмотрим первое слагаемое: root((n ^ n)/(n!), n) * n ^ n. Здесь мы имеем корень n-ой степени из отношения n в степени n к факториалу n. Факториал n обозначается как n! и равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.
По формуле Стирлинга, факториал n можно приближенно выразить как n^(n+1/2) * e^(-n) * sqrt(2π), где e - основание натурального логарифма, а π - число пи.
Таким образом, мы можем переписать первое слагаемое как: root((n ^ n)/(n!), n) * n ^ n = root((n ^ n)/(n^(n+1/2) * e^(-n) * sqrt(2π)), n) * n ^ n = root((1/(e^(-n) * sqrt(2π))), n) * n ^ n.
-
Рассмотрим второе слагаемое: (n + root(n, n)) ^ n. Здесь мы имеем сумму n и корня n-ой степени из n, возведенную в степень n.
-
Рассмотрим знаменатель: n ^ (n + root(n, n) / n) + n ^ n. Здесь мы имеем сумму двух слагаемых: первое слагаемое - n в степени (n + корень n-ой степени из n) деленное на n, и второе слагаемое - n в степени n.
Теперь, когда мы разобрались с каждым слагаемым, давайте рассмотрим предел данного выражения при n стремящемся к бесконечности.
lim n -> ∞ (root((n ^ n)/(n!), n) * n ^ n + (n + root(n, n)) ^ n)/(n ^ (n + root(n, n) / n) + n ^ n)
Поскольку n стремится к бесконечности, мы можем проигнорировать более низкоприоритетные слагаемые и оставить только наиболее значимые члены.
lim n -> ∞ (root((1/(e^(-n) * sqrt(2π))), n) * n ^ n + n ^ n)/(n ^ n + n ^ n)
Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковые слагаемые n ^ n, поэтому мы можем их сократить.
lim n -> ∞ (root((1/(e^(-n) * sqrt(2π))), n) + 1)/(1 + 1)
lim n -> ∞ (root((1/(e^(-n) * sqrt(2π))), n) + 1)/2
Таким образом, предел данного выражения при n стремящемся к бесконечности равен (root((1/(e^(-n) * sqrt(2π))), n) + 1)/2.
