Человек массы m1, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массы m2 и длины ℓ, прыгает со скоростью υ относительно земли под ...
Условие:
Человек массы m1, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массы m2 и длины ℓ, прыгает со скоростью υ относительно земли под углом α к горизонту и попадает на другой конец тележки. Массу колес, а также силы сопротивления движению тележки не учитывать. Определить угол α, если m1=45кг; m2=160кг; ℓ=3,5м; υ=5,5м/с.
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и момента импульса.
Сначала найдем начальную скорость тележки. Поскольку она покоится, ее начальная скорость равна нулю.
Затем найдем начальный момент импульса системы. Так как момент импульса определяется как произведение массы на скорость и расстояние от оси вращения, то начальный момент импульса системы будет равен нулю.
После прыжка массы m1 на тележку, система будет двигаться вместе с массой m1. По закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после прыжка должна быть равна нулю. Таким образом, мы можем записать уравнение:
m1 * υ * cos(α) = (m1 + m2) * V,
где V - скорость тележки после прыжка.
Также, по закону сохранения момента импульса, сумма моментов импульса до и после прыжка должна быть равна нулю. Момент импульса массы m1 относительно оси вращения (центра тележки) равен m1 * υ * sin(α) * ℓ, а момент импульса тележки после прыжка равен (m1 + m2) * V * (ℓ/2). Таким образом, мы можем записать уравнение:
m1 * υ * sin(α) * ℓ = (m1 + m2) * V * (ℓ/2).
Теперь мы можем решить эти два уравнения относительно неизвестной величины α.
m1 * υ * cos(α) = (m1 + m2) * V,
m1 * υ * sin(α) * ℓ = (m1 + m2) * V * (ℓ/2).
Разделим первое уравнение на второе:
cos(α) / sin(α) = (m1 + m2) / (m1 * ℓ/2).
Так как cos(α) / sin(α) = cot(α), то получаем:
cot(α) = (m1 + m2) / (m1 * ℓ/2).
Теперь найдем значение cot(α):
cot(α) = (45 кг + 160 кг) / (45 кг * 3,5 м/2).
cot(α) = 205 кг / 78,75 м.
cot(α) ≈ 2,6.
Теперь найдем значение угла α, используя обратную функцию cotangent:
α ≈ arccot(2,6).
Подставив это выражение в калькулятор, получим:
α ≈ 15,4 градусов.
Таким образом, угол α примерно равен 15,4 градусов.