Две меньшие стороны треугольника равны 4 см и 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если его меньший угол равен 45°...
Условие:
Две меньшие стороны треугольника равны 4 см и 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если его меньший угол равен 45°"
Решение:
Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, нам понадобится использовать теорему синусов.
Теорема синусов гласит: в треугольнике со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника.
В данном случае у нас есть две меньшие стороны треугольника, равные 4 см и 6 см, и меньший угол, равный 45°. Пусть сторона, противолежащая меньшему углу, равна a, а сторона, противолежащая большему углу, равна b. Тогда у нас есть следующие данные:
a = 4 см b = 6 см A = 45°
Мы хотим найти радиус окружности, описанной около треугольника, который является длиной стороны c. Пусть радиус окружности равен R.
Используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Заметим, что угол C является прямым углом, так как сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, sin(C) = 1.
Подставляя известные значения, получаем:
4/sin(45°) = 6/sin(B) = c/1
sin(45°) = √2/2, поэтому:
4/(√2/2) = 6/sin(B)
Упрощая, получаем:
8/√2 = 6/sin(B)
Переставляя части равенства, получаем:
sin(B) = (6 * √2) / 8
sin(B) = √2 / 2
Так как sin(B) = √2 / 2, то угол B также равен 45°.
Теперь мы знаем, что у треугольника два угла, равных 45°, и один прямой угол. Такой треугольник называется прямоугольным треугольником.
В прямоугольном треугольнике радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине гипотенузы. В нашем случае гипотенуза равна 6 см, поэтому радиус окружности равен 3 см.
Таким образом, радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 3 см.
