По координатам точек
A,B,C
для указанных векторов найти:
1).
a
, b
; 2).
a b
; 3). направляющие косинусы вектора
a
; 4).
cos(a b)
; 5).
np c
d
;
6). координаты точки
M
, делящей отрезок
в отношении
: .
3.
(2,4,5); (1, 2,3); ( 1, 2,4); 3 4 ; ; ;
d AB AB
A
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы и определения из линейной алгебры.
1) Для нахождения векторов a и b, используем формулу разности координат:
a = B - A = (1, 2, 3) - (2, 4, 5) = (-1, -2, -2)
b = C - A = (1, 2, 4) - (2, 4, 5) = (-1, 0, -1)
2) Для нахождения скалярного произведения векторов a и b, используем формулу:
a · b = (-1, -2, -2) · (-1, 0, -1) = (-1)(-1) + (-2)(0) + (-2)(-1) = 1 + 0 + 2 = 3
3) Для нахождения направляющих косинусов вектора a, используем формулы:
cos α = a_x / |a| = -1 / √((-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = -1 / √9 = -1/3
cos β = a_y / |a| = -2 / √((-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = -2 / √9 = -2/3
cos γ = a_z / |a| = -2 / √((-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = -2 / √9 = -2/3
4) Для нахождения косинуса угла между векторами a и b, используем формулу:
cos(a, b) = (a · b) / (|a| * |b|) = 3 / (√9 * √2) = 3 / (3 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2
5) Для нахождения векторного произведения векторов a и b, используем формулу:
a x b = (a_y * b_z - a_z * b_y, a_z * b_x - a_x * b_z, a_x * b_y - a_y * b_x)
= (-2 * -1 - -2 * 0, -2 * 1 - -1 * -1, -1 * 0 - -2 * 1)
= (-2, -1, -2)
6) Для нахождения координат точки M, делящей отрезок AB в отношении α:β, используем формулу:
M = (β * A + α * B) / (α + β)
= (3 * (2, 4, 5) + 4 * (1, 2, 3)) / (3 + 4)
= (6, 12, 15 + 4, 8, 12) / 7
= (10/7, 20/7, 27/7)
Таким образом, получаем следующие результаты:
1) a = (-1, -2, -2), b = (-1, 0, -1)
2) a · b = 3
3) cos α = -1/3, cos β = -2/3, cos γ = -2/3
4) cos(a, b) = √2 / 2
5) a x b = (-2, -1, -2)
6) M = (10/7, 20/7, 27/7)