каковы бы ни были произвольные натуральные числа m,n,k, существует натуральное число N такое, что (sqrt(m+n) - sqrt(m))^k = sqrt(N+n^k) - sq...
Условие:
каковы бы ни были произвольные натуральные числа m,n,k, существует натуральное число N такое, что (sqrt(m+n) - sqrt(m))^k = sqrt(N+n^k) - sqrt(N)
доказать существование натурального N , используя математическую индукцию
Решение:
Для доказательства существования натурального числа N, удовлетворяющего условию, воспользуемся методом математической индукции.
Шаг базы индукции: При k = 1, левая часть равенства принимает вид sqrt(m+n) - sqrt(m), а правая часть - sqrt(N+n) - sqrt(N). Для того чтобы обе части равенства были равны, можно выбрать N = m. Таким образом, база индукции выполняется.
Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k = p, где p - натуральное число, существует натуральное число N, удовлетворяющее условию. То есть, (sqrt(m+n) - sqrt(m))^p = sqrt(N+n^p) - sqrt(N).
Докажем, что при k = p + 1 также существует натуральное число N, удовлетворяющее условию.
Рассмотрим левую часть равенства при k = p + 1: (sqrt(m+n) - sqrt(m))^(p+1) = (sqrt(m+n) - sqrt(m))^p * (sqrt(m+n) - sqrt(m))
Раскроем скобки: (sqrt(m+n) - sqrt(m))^p * (sqrt(m+n) - sqrt(m)) = (sqrt(N+n^p) - sqrt(N)) * (sqrt(m+n) - sqrt(m))
Применим формулу разности квадратов: (sqrt(N+n^p) - sqrt(N)) * (sqrt(m+n) - sqrt(m)) = sqrt((N+n^p)(m+n)) - sqrt((N+n^p)m) - sqrt(N(m+n)) + sqrt(Nm)
Заметим, что второе слагаемое sqrt((N+n^p)m) можно представить в виде sqrt(N(m+n^p) + n^pm), а третье слагаемое sqrt(N(m+n)) можно представить в виде sqrt(N*(m+n^p) + n*m).
Таким образом, левая часть равенства при k = p + 1 принимает вид: sqrt((N+n^p)(m+n)) - sqrt(N(m+n^p) + n^pm) - sqrt(N(m+n^p) + nm) + sqrt(Nm)
Для того чтобы обе части равенства были равны, можно выбрать N = N*(m+n^p) + n^pm = N(m+n^p) + nm = Nm.
Таким образом, при k = p + 1 также существует натуральное число N, удовлетворяющее условию.
Исходя из базы индукции и шага индукции, мы можем сделать вывод, что для любого натурального числа k существует натуральное число N, удовлетворяющее условию.
Таким образом, доказано существование натурального числа N, удовлетворяющего заданному равенству, с использованием математической индукции.
