Стороны треугольника АВС совпадают с отрезками, лежащими на прямых: x-y+1=0; 7x+y-17=0; 3x+y-5-0.
Условие:
Стороны треугольника АВС совпадают с отрезками, лежащими на прямых:
x-y+1=0;
7x+y-17=0;
3x+y-5-0.
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо найти точки пересечения данных прямых, чтобы определить стороны треугольника АВС.
Для начала, найдем точку пересечения первых двух прямых. Решим систему уравнений:
x - y + 1 = 0 ...(1) 7x + y - 17 = 0 ...(2)
Для этого можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений. В данном случае, воспользуемся методом сложения/вычитания.
Умножим уравнение (1) на 7, чтобы избавиться от коэффициента при x:
7x - 7y + 7 = 0 ...(3)
Теперь сложим уравнения (2) и (3):
7x + y - 17 + 7x - 7y + 7 = 0
14x - 6y - 10 = 0
Упростим уравнение:
7x - 3y - 5 = 0 ...(4)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
7x - 3y - 5 = 0 ...(4) 7x + y - 17 = 0 ...(2)
Решим эту систему методом сложения/вычитания:
(4) - (2):
7x - 3y - 5 - (7x + y - 17) = 0
7x - 3y - 5 - 7x - y + 17 = 0
-4y + 12 = 0
-4y = -12
y = 3
Подставим значение y в уравнение (2):
7x + 3 - 17 = 0
7x - 14 = 0
7x = 14
x = 2
Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты (2, 3).
Теперь найдем точку пересечения второй и третьей прямых. Решим систему уравнений:
7x + y - 17 = 0 ...(2) 3x + y - 5 = 0 ...(3)
Снова воспользуемся методом сложения/вычитания:
(3) - (2):
3x + y - 5 - (7x + y - 17) = 0
3x + y - 5 - 7x - y + 17 = 0
-4x + 12 = 0
-4x = -12
x = 3
Подставим значение x в уравнение (3):
3(3) + y - 5 = 0
9 + y - 5 = 0
y = -4
Таким образом, точка пересечения второй и третьей прямых имеет координаты (3, -4).
Теперь найдем точку пересечения первой и третьей прямых. Решим систему уравнений:
x - y + 1 = 0 ...(1) 3x + y - 5 = 0 ...(3)
Снова воспользуемся методом сложения/вычитания:
(3) - (1):
3x + y - 5 - (x - y + 1) = 0
3x + y - 5 - x + y - 1 = 0
2x + 2y - 6 = 0
2x + 2y = 6
x + y = 3 ...(5)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
x + y = 3 ...(5) 3x + y - 5 = 0 ...(3)
Решим эту систему методом сложения/вычитания:
(5) - (3):
x + y - (3x + y - 5) = 0
x + y - 3x - y + 5 = 0
-2x + 5 = 0
-2x = -5
x = 5/2 = 2.5
Подставим значение x в уравнение (5):
2.5 + y = 3
y = 3 - 2.5
y = 0.5
Таким образом, точка пересечения первой и третьей прямых имеет координаты (2.5, 0.5).
Теперь мы знаем координаты трех точек пересечения прямых: (2, 3), (3, -4) и (2.5, 0.5).
Чтобы определить стороны треугольника АВС, нам необходимо вычислить расстояния между этими точками.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Расстояние между точками (2, 3) и (3, -4):
d1 = √((3 - 2)^2 + (-4 - 3)^2)
d1 = √(1^2 + (-7)^2)
d1 = √(1 + 49)
d1 = √50
d1 ≈ 7.07
Расстояние между точками (3, -4) и (2.5, 0.5):
d2 = √((2.5 - 3)^2 + (0.5 - (-4))^2)
d2 = √((-0.5)^2 + (4.5)^2)
d2 = √(0.25 + 20.25)
d2 = √20.5
d2 ≈ 4.53
Расстояние между точками (2.5, 0.5) и (2, 3):
d3 = √((2 - 2.5)^2 + (3 - 0.5)^2)
d3 = √((-0.5)^2 + (2.5)^2)
d3 = √(0.25 + 6.25)
d3 = √6.5
d3 ≈ 2.55
Таким образом, стороны треугольника АВС равны примерно 7.07, 4.53 и 2.55.