№ 92. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Вариант 2. Вариант 1. y = x2 - 2x + 1 и y = 1 + x. y = x2 - 4x + 4 и у = 4 - x2. Вариа...
Условие:
№ 92. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Вариант 2. Вариант 1. y = x2 - 2x + 1 и y = 1 + x. y = x2 - 4x + 4 и у = 4 - x2. Вариант 3. Вариант 4. y = x2 + 1 и у = - x2 + Вариант 5. 4x + 1. y = 4x - x2 и у = 4 - x. Вариант 6. y = -x2 - 5x + 3 и у = 3.
Решение:
Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, необходимо найти точки пересечения данных функций и определить границы интегрирования.
Вариант 1: Уравнения: y = x^2 - 2x + 1 y = 1 + x
Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения: x^2 - 2x + 1 = 1 + x
Перенесем все члены в одну сторону: x^2 - 3x = 0
Факторизуем: x(x - 3) = 0
Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 3.
Для определения границ интегрирования, найдем значения y для каждой из функций в этих точках: y = x^2 - 2x + 1 y(0) = 0^2 - 20 + 1 = 1 y(3) = 3^2 - 23 + 1 = 4
Таким образом, границы интегрирования по оси y будут от 1 до 4.
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенные границы интегрирования и интеграл: S = ∫[1,4] (y2 - y1) dx
S = ∫[1,4] ((x^2 - 2x + 1) - (1 + x)) dx
S = ∫[1,4] (x^2 - 3x) dx
S = [1/3 * x^3 - 3/2 * x^2] [1,4]
S = (1/3 * 4^3 - 3/2 * 4^2) - (1/3 * 1^3 - 3/2 * 1^2)
S = (64/3 - 48) - (1/3 - 3/2)
S = (64/3 - 144/3) - (1/3 - 9/6)
S = (-80/3) - (-1/6)
S = -80/3 + 1/6
S = -240/6 + 1/6
S = -239/6
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями варианта 1, равна -239/6.
Аналогично можно решить задачи для остальных вариантов, используя методы алгебры и интегрирования.
