Докажите следующие свойства: темп прироста постоянной величины равен нулю; темп прироста величины ax(t), где a – постоянная, равен темпу при...
Условие:
Докажите следующие свойства: темп прироста постоянной величины равен нулю; темп прироста величины ax(t), где a – постоянная, равен темпу прироста величины x(t); темп прироста степени x(t)a, где a – постоянная, равен произведению agx (t) показателя степени на темп прироста величины x(t).
Решение:
Для доказательства этих свойств воспользуемся математическим определением темпа прироста.
-
Темп прироста постоянной величины равен нулю: Пусть C - постоянная величина. Тогда ее изменение по времени равно нулю: dC/dt = 0. Темп прироста определяется как производная по времени отношения изменения величины к изменению времени: dC/dt / dt. Подставляя dC/dt = 0, получаем 0 / dt = 0. Таким образом, темп прироста постоянной величины равен нулю.
-
Темп прироста величины ax(t), где a – постоянная, равен темпу прироста величины x(t): Пусть x(t) - некоторая величина, зависящая от времени t, и a - постоянная. Тогда изменение величины ax(t) по времени равно adx(t)/dt, где dx(t)/dt - темп прироста величины x(t). Темп прироста определяется как производная по времени отношения изменения величины к изменению времени: d(ax(t))/dt / dt. Подставляя изменение величины ax(t) и dx(t)/dt, получаем adx(t)/dt / dt = adx(t)/dt * (1/dt) = adx(t)/dt. Таким образом, темп прироста величины ax(t) равен темпу прироста величины x(t).
-
Темп прироста степени x(t)^a, где a – постоянная, равен произведению agx(t) показателя степени на темп прироста величины x(t): Пусть x(t) - некоторая величина, зависящая от времени t, и a - постоянная. Тогда изменение величины x(t)^a по времени равно ax(t)^(a-1)dx(t)/dt, где dx(t)/dt - темп прироста величины x(t). Темп прироста определяется как производная по времени отношения изменения величины к изменению времени: d(x(t)^a)/dt / dt. Подставляя изменение величины x(t)^a и dx(t)/dt, получаем ax(t)^(a-1)dx(t)/dt / dt = ax(t)^(a-1)dx(t)/dt * (1/dt) = ax(t)^(a-1)dx(t)/dt. Таким образом, темп прироста степени x(t)^a равен произведению agx(t) показателя степени на темп прироста величины x(t).
Таким образом, мы доказали все три свойства.
