1. Найти частные производные функций по каждой из независимых переменных: а ) Z=arccos√x/2y б)Z=arctg 2y/4+xy 2. Найти производную сложной ...

15 мая 2025

Русский язык

Условие:

Найти частные производные функций по каждой из независимых переменных: а ) Z=arccos√x/2y б)Z=arctg 2y/4+xy 2. Найти производную сложной функции z = arctg(uv), u = e в степени x , v=x/1-x решите на русском

Решение:

Добрый день! Давайте решим задачи по порядку.

Найти частные производные функций по каждой из независимых переменных: а) Z = arccos(√(x/2y))

Для начала, заметим, что функция Z является составной функцией, где внутренняя функция - это arccos, а аргумент этой функции - это √(x/2y). Для нахождения частных производных, мы будем использовать цепное правило дифференцирования.

Частная производная по переменной x: ∂Z/∂x = (∂Z/∂(√(x/2y))) * (∂(√(x/2y))/∂x)

Чтобы найти ∂Z/∂(√(x/2y)), мы дифференцируем arccos(√(x/2y)) по его аргументу: ∂Z/∂(√(x/2y)) = -1/√(1 - (√(x/2y))^2) = -1/√(1 - x/2y)

Теперь найдем ∂(√(x/2y))/∂x: ∂(√(x/2y))/∂x = 1/(2√(x/2y)) * (1/2y) = 1/(4y√(x/2y))

Подставим значения в формулу для ∂Z/∂x: ∂Z/∂x = (-1/√(1 - x/2y)) * (1/(4y√(x/2y))) = -1/(4y(1 - x/2y)√(x/2y))

Частная производная по переменной y: ∂Z/∂y = (∂Z/∂(√(x/2y))) * (∂(√(x/2y))/∂y)

Аналогично, найдем ∂(√(x/2y))/∂y: ∂(√(x/2y))/∂y = -1/(4y√(x/2y))

Подставим значения в формулу для ∂Z/∂y: ∂Z/∂y = (-1/√(1 - x/2y)) * (-1/(4y√(x/2y))) = 1/(4y(1 - x/2y)√(x/2y))

Итак, частные производные функции Z по переменным x и y равны: ∂Z/∂x = -1/(4y(1 - x/2y)√(x/2y)) ∂Z/∂y = 1/(4y(1 - x/2y)√(x/2y))

б) Z = arctg(2y/4 + xy)

Аналогично, заметим, что функция Z является составной функцией, где внутренняя функция - это arctg, а аргумент этой функции - это 2y/4 + xy. Для нахождения частных производных, мы будем использовать цепное правило дифференцирования.

Частная производная по переменной x: ∂Z/∂x = (∂Z/∂(2y/4 + xy)) * (∂(2y/4 + xy)/∂x)

Чтобы найти ∂Z/∂(2y/4 + xy), мы дифференцируем arctg(2y/4 + xy) по его аргументу: ∂Z/∂(2y/4 + xy) = 1/(1 + (2y/4 + xy)^2) = 1/(1 + (y/2 + xy)^2)

Теперь найдем ∂(2y/4 + xy)/∂x: ∂(2y/4 + xy)/∂x = y

Подставим значения в формулу для ∂Z/∂x: ∂Z/∂x = (1/(1 + (y/2 + xy)^2)) * y = y/(1 + (y/2 + xy)^2)

Частная производная по переменной y: ∂Z/∂y = (∂Z/∂(2y/4 + xy)) * (∂(2y/4 + xy)/∂y)

Аналогично, найдем ∂(2y/4 + xy)/∂y: ∂(2y/4 + xy)/∂y = 1/4 + x

Подставим значения в формулу для ∂Z/∂y: ∂Z/∂y = (1/(1 + (y/2 + xy)^2)) * (1/4 + x) = (1/4 + x)/(1 + (y/2 + xy)^2)

Итак, частные производные функции Z по переменным x и y равны: ∂Z/∂x = y/(1 + (y/2 + xy)^2) ∂Z/∂y = (1/4 + x)/(1 + (y/2 + xy)^2)
Найти производную сложной функции z = arctg(uv), u = e в степени x, v = x/(1 - x)

Для нахождения производной сложной функции, мы будем использовать цепное правило дифференцирования.

Производная по переменной x: dz/dx = (dz/du) * (du/dx) + (dz/dv) * (dv/dx)

Найдем dz/du: dz/du = 1/(1 + (uv)^2)

Найдем du/dx: du/dx = (e^x)' = e^x

Найдем dz/dv: dz/dv = 1/(1 + (uv)^2)

Найдем dv/dx: dv/dx = (x/(1 - x))' = (1 - x - x)/(1 - x)^2 = -1/(1 - x)^2

Подставим значения в формулу для dz/dx: dz/dx = (1/(1 + (uv)^2)) * e^x + (1/(1 + (uv)^2)) * (-1/(1 - x)^2) = (e^x - 1/(1 - x)^2)/(1 + (uv)^2)

Итак, производная функции z по переменной x равна: dz/dx = (e^x - 1/(1 - x)^2)/(1 + (uv)^2)