Газ в количестве v = 0,5 моль, получив тепло Q = 5,3 кДж, перешёл из состояния А
в состояние С по пути АВС (см. рис. 5.12). Какова молярная теплоёмкость СV газа при постоянном объёме, если в результате такого перехода его объём возрос в два раза, а температура Т1 в состоянии А была равна 400 К
Для решения этой задачи мы можем использовать первый закон термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии газа равно сумме полученного тепла и работы, совершенной над газом:
ΔU = Q - W
Так как газ перешел из состояния А в состояние С по пути АВС, мы можем разделить этот процесс на два этапа: АВ и ВС.
На первом этапе, АВ, газ расширяется при постоянном объеме, поэтому работа, совершенная над газом, равна нулю (W = 0). Таким образом, изменение внутренней энергии газа на этом этапе равно полученному теплу:
ΔU(АВ) = Q(АВ)
На втором этапе, ВС, газ снова расширяется, но уже при постоянной температуре. В этом случае, работа, совершенная над газом, равна разности между начальным и конечным давлением, умноженной на изменение объема:
W(ВС) = P(А) * ΔV
Так как газ расширяется в два раза, изменение объема равно начальному объему:
ΔV = V(А)
Таким образом, работа, совершенная над газом на этом этапе, равна:
W(ВС) = P(А) * V(А)
Теперь мы можем записать изменение внутренней энергии газа на этом этапе:
ΔU(ВС) = Q(ВС) - W(ВС)
Так как газ перешел из состояния А в состояние С, изменение внутренней энергии газа равно разности между внутренней энергией в состоянии С и внутренней энергией в состоянии А:
ΔU(ВС) = U(С) - U(А)
Теперь мы можем записать уравнение для молярной теплоемкости при постоянном объеме:
CV = ΔU / ΔT
где ΔT - изменение температуры газа.
Так как газ перешел из состояния А в состояние С, изменение температуры газа равно разности между температурой в состоянии С и температурой в состоянии А:
ΔT = T(С) - T(А)
Теперь мы можем записать уравнение для молярной теплоемкости при постоянном объеме:
CV = (U(С) - U(А)) / (T(С) - T(А))
Так как на первом этапе, АВ, работа равна нулю, изменение внутренней энергии газа на этом этапе равно полученному теплу:
ΔU(АВ) = Q(АВ)
Таким образом, уравнение для молярной теплоемкости при постоянном объеме принимает вид:
CV = (Q(ВС) - Q(АВ)) / (T(С) - T(А))
Теперь мы можем подставить известные значения:
Q(ВС) = Q = 5,3 кДж
T(С) = T1 = 400 К
T(А) = T2 = T1 / 2 = 200 К
CV = (5,3 кДж - Q(АВ)) / (400 К - 200 К)
Осталось найти значение Q(АВ). Мы знаем, что газ перешел из состояния А в состояние С по пути АВС, и его объем возрос в два раза. Так как объем газа пропорционален его температуре при постоянном давлении, мы можем использовать закон Шарля:
V(С) / T(С) = V(А) / T(А)
Так как объем возрос в два раза, отношение объемов равно 2:
2 / T(С) = 1 / T(А)
T(А) = 2 * T(С)
T(А) = 2 * 400 К = 800 К
Теперь мы можем записать уравнение для полученного тепла на первом этапе:
Q(АВ) = CV * (T(А) - T(А))
Q(АВ) = CV * (800 К - 400 К)
Теперь мы можем подставить значение Q(АВ) в уравнение для молярной теплоемкости при постоянном объеме:
CV = (5,3 кДж - CV * (800 К - 400 К)) / (400 К - 200 К)
CV = (5,3 кДж - CV * 400 К) / 200 К
CV * 200 К = 5,3 кДж - CV * 400 К
CV * 200 К + CV * 400 К = 5,3 кДж
CV * (200 К + 400 К) = 5,3 кДж
CV * 600 К = 5,3 кДж
CV = 5,3 кДж / 600 К
CV ≈ 0,0088 кДж/моль·К
Таким образом, молярная теплоемкость газа при постоянном объеме составляет примерно 0,0088 кДж/моль·К.
